Énoncé
Résoudre dans
\(\mathbb{R}\)
les équations trigonométriques suivantes.
1.
\(\cos(2x)-9\cos(x)=-8\)
2.
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)=\dfrac{1}{2}\)
Solution
1. On a, pour tout réel
\(x\)
,
\(\begin{align*}\cos(2x)-9\cos(x)=-8 & \Longleftrightarrow 2\cos^2(x)-1-9\cos(x)=-8 \\& \Longleftrightarrow 2\cos^2(x)-9\cos(x)+7=0\\& \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}X=\cos(x) \\ 2X^2-9X+7=0\end{array} \right.\end{align*}\)
On résout la deuxième équation du système. Le trinôme du second degré
\(2X^2-9X+7\)
a pour discriminant
\(\begin{align*}\Delta=(-9)^2-4 \times 2 \times 7=81-56=25.\end{align*}\)
Comme
\(\Delta=25>0\)
, l'équation
\(2X^2-9X+7=0\)
a deux solutions réelles :
\(\begin{align*}X_1=\frac{-(-9)+\sqrt{25}}{2 \times 2}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}\ \ \text{ et } \ \ X_2=\frac{9-\sqrt{25}}{2 \times 2}=\frac{4}{4}=1.\end{align*}\)
On résout maintenant les équations
\(X_1=\cos(x)\)
et
\(X_2=\cos(x)\)
d'inconnue
\(x \in \mathbb{R}\)
.
\(\)
On a :
\(X_1=\cos(x) \Leftrightarrow \cos(x)=\dfrac{7}{2}\)
,
ce qui est impossible car
\(\cos(x) \in [-1 \ ; 1]\)
.
De plus,
\(\begin{align*}X_2=\cos(x) & \Longleftrightarrow \cos(x)=1 \\ & \Longleftrightarrow \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=0+2k\pi=2k\pi \end{align*}\)
donc
\(S= \left\lbrace 2k\pi; k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\)
.
2. On a :
\(\begin{align*}\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)=\frac{1}{2}& \Longleftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(x)+\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(x)=\frac{1}{2} \\& \Longleftrightarrow \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \\& \Longleftrightarrow \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+2k\pi \\& \text{ ou } x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \\& \Longleftrightarrow \text{il existe } k \in \ \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+2k\pi \\& \text{ ou } x=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}+2k\pi \\& \Longleftrightarrow \text{il existe } k \in \ \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi \\& \text{ ou } x=-\frac{\pi}{12}+2k\pi\end{align*}\)
donc
\(S= \left\lbrace \dfrac{7\pi}{12}+2k\pi ; k \in \mathbb{Z} \right\rbrace \cup \left\lbrace -\dfrac{\pi}{12}+2k\pi ; k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\)
.
Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr Télécharger le manuel : https://forge.apps.education.fr/drane-ile-de-france/les-manuels-libres/mathematiques-terminale-expert ou directement le fichier ZIP Sous réserve des droits de propriété intellectuelle de tiers, les contenus de ce site sont proposés dans le cadre du droit Français sous licence CC BY-NC-SA 4.0